3.196 \(\int (g+h x)^3 (a+b x+c x^2)^{3/2} (d+e x+f x^2) \, dx\)

Optimal. Leaf size=1169 \[ \text{result too large to display} \]

[Out]

-((b^2 - 4*a*c)*(1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*
a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 256*c^4*g*(3*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f
*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*
f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(32768*c^7) + ((1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 +
22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^
2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 256*c^4*g*(3*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f
*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*(b + 2*c*x)*(a + b*x +
c*x^2)^(3/2))/(12288*c^6) + ((143*b^2*f*h^2 - 2*c*h*(24*b*f*g + 99*b*e*h + 64*a*f*h) - 12*c^2*(5*f*g^2 - 3*h*
(3*e*g + 8*d*h)))*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(2016*c^3*h) - ((10*c*f*g - 18*c*e*h + 13*b*f*h)*(g + h
*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(144*c^2*h) + (f*(g + h*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(9*c*h) + ((3003*b^4*f*h^
4 - 192*c^4*g^2*(5*f*g^2 - 3*h*(3*e*g + 64*d*h)) - 198*b^2*c*h^3*(38*a*f*h + 21*b*(3*f*g + e*h)) + 8*c^2*h^2*(
256*a^2*f*h^2 + 837*a*b*h*(3*f*g + e*h) + b^2*(1553*f*g^2 + 756*h*(3*e*g + d*h))) - 16*c^3*h*(32*a*h*(17*f*g^2
+ 9*h*(3*e*g + d*h)) + b*g*(13*f*g^2 + 9*h*(141*e*g + 196*d*h))) - 10*c*h*(429*b^3*f*h^3 - 22*b*c*h^2*(29*b*f
*g + 27*b*e*h + 34*a*f*h) + 16*c^3*g*(5*f*g^2 - 9*h*(e*g + 12*d*h)) + 8*c^2*h*(a*h*(61*f*g + 63*e*h) + 3*b*(f*
g^2 + 6*h*(7*e*g + 6*d*h))))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(80640*c^5*h) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(1536*c^5*d*g^3 - 14
3*b^5*f*h^3 + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) +
6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) - 256*c^4*g*(3*b*g*(e*g + 3*d*h) + a*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h))) + 32*c^3*(3
*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*ArcTanh[(
b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(65536*c^(15/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 3.69766, antiderivative size = 1166, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 32, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.188, Rules used = {1653, 832, 779, 612, 621, 206} \[ \frac{f \left (c x^2+b x+a\right )^{5/2} (g+h x)^4}{9 c h}-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) \left (c x^2+b x+a\right )^{5/2} (g+h x)^3}{144 c^2 h}+\frac{\left (-12 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right ) c^2-2 h (24 b f g+99 b e h+64 a f h) c+143 b^2 f h^2\right ) \left (c x^2+b x+a\right )^{5/2} (g+h x)^2}{2016 c^3 h}+\frac{\left (-192 \left (5 f g^4-3 g^2 h (3 e g+64 d h)\right ) c^4-16 h \left (32 a h \left (17 f g^2+9 h (3 e g+d h)\right )+b g \left (13 f g^2+9 h (141 e g+196 d h)\right )\right ) c^3+8 h^2 \left (\left (1553 f g^2+756 h (3 e g+d h)\right ) b^2+837 a h (3 f g+e h) b+256 a^2 f h^2\right ) c^2-198 b^2 h^3 (38 a f h+21 b (3 f g+e h)) c-10 h \left (16 \left (5 f g^3-9 g h (e g+12 d h)\right ) c^3+8 h \left (a h (61 f g+63 e h)+3 b \left (f g^2+6 h (7 e g+6 d h)\right )\right ) c^2-22 b h^2 (29 b f g+27 b e h+34 a f h) c+429 b^3 f h^3\right ) x c+3003 b^4 f h^4\right ) \left (c x^2+b x+a\right )^{5/2}}{80640 c^5 h}+\frac{\left (-143 f h^3 b^5+22 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h)) b^3-48 c^2 h \left (6 \left (3 f g^2+3 e h g+d h^2\right ) b^2+9 a h (3 f g+e h) b+5 a^2 f h^2\right ) b+1536 c^5 d g^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 b (e g+3 d h) g+3 a h (e g+d h)\right )+32 c^3 \left (14 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right ) b^2+12 a h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right ) b+3 a^2 h^2 (3 f g+e h)\right )\right ) (b+2 c x) \left (c x^2+b x+a\right )^{3/2}}{12288 c^6}+\frac{\left (b^2-4 a c\right )^2 \left (-143 f h^3 b^5+22 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h)) b^3-48 c^2 h \left (6 \left (3 f g^2+3 e h g+d h^2\right ) b^2+9 a h (3 f g+e h) b+5 a^2 f h^2\right ) b+1536 c^5 d g^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 b (e g+3 d h) g+3 a h (e g+d h)\right )+32 c^3 \left (14 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right ) b^2+12 a h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right ) b+3 a^2 h^2 (3 f g+e h)\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c x}{2 \sqrt{c} \sqrt{c x^2+b x+a}}\right )}{65536 c^{15/2}}-\frac{\left (b^2-4 a c\right ) \left (-143 f h^3 b^5+22 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h)) b^3-48 c^2 h \left (6 \left (3 f g^2+3 e h g+d h^2\right ) b^2+9 a h (3 f g+e h) b+5 a^2 f h^2\right ) b+1536 c^5 d g^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 b (e g+3 d h) g+3 a h (e g+d h)\right )+32 c^3 \left (14 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right ) b^2+12 a h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right ) b+3 a^2 h^2 (3 f g+e h)\right )\right ) (b+2 c x) \sqrt{c x^2+b x+a}}{32768 c^7} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)*(d + e*x + f*x^2),x]

[Out]

-((b^2 - 4*a*c)*(1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 - 256*c^4*g*(a*f*g^2 + 3*a*h*(e*g + d*h) + 3*b*g*(e*g + 3*d*h)
) + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f
*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*
f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(32768*c^7) + ((1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 -
256*c^4*g*(a*f*g^2 + 3*a*h*(e*g + d*h) + 3*b*g*(e*g + 3*d*h)) + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) -
48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f
*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*(b + 2*c*x)*(a + b*x +
c*x^2)^(3/2))/(12288*c^6) + ((143*b^2*f*h^2 - 2*c*h*(24*b*f*g + 99*b*e*h + 64*a*f*h) - 12*c^2*(5*f*g^2 - 3*h*
(3*e*g + 8*d*h)))*(g + h*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(2016*c^3*h) - ((10*c*f*g - 18*c*e*h + 13*b*f*h)*(g + h
*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(144*c^2*h) + (f*(g + h*x)^4*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(9*c*h) + ((3003*b^4*f*h^
4 - 192*c^4*(5*f*g^4 - 3*g^2*h*(3*e*g + 64*d*h)) - 198*b^2*c*h^3*(38*a*f*h + 21*b*(3*f*g + e*h)) + 8*c^2*h^2*(
256*a^2*f*h^2 + 837*a*b*h*(3*f*g + e*h) + b^2*(1553*f*g^2 + 756*h*(3*e*g + d*h))) - 16*c^3*h*(32*a*h*(17*f*g^2
+ 9*h*(3*e*g + d*h)) + b*g*(13*f*g^2 + 9*h*(141*e*g + 196*d*h))) - 10*c*h*(429*b^3*f*h^3 - 22*b*c*h^2*(29*b*f
*g + 27*b*e*h + 34*a*f*h) + 16*c^3*(5*f*g^3 - 9*g*h*(e*g + 12*d*h)) + 8*c^2*h*(a*h*(61*f*g + 63*e*h) + 3*b*(f*
g^2 + 6*h*(7*e*g + 6*d*h))))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2))/(80640*c^5*h) + ((b^2 - 4*a*c)^2*(1536*c^5*d*g^3 - 14
3*b^5*f*h^3 - 256*c^4*g*(a*f*g^2 + 3*a*h*(e*g + d*h) + 3*b*g*(e*g + 3*d*h)) + 22*b^3*c*h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*
f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*h + d*h^2)) + 32*c^3*(3
*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*e*g + d*h))))*ArcTanh[(
b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(65536*c^(15/2))

Rule 1653

Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq
, x], f = Coeff[Pq, x, Expon[Pq, x]]}, Simp[(f*(d + e*x)^(m + q - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/(c*e^(q - 1)*(
m + q + 2*p + 1)), x] + Dist[1/(c*e^q*(m + q + 2*p + 1)), Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e^
q*(m + q + 2*p + 1)*Pq - c*f*(m + q + 2*p + 1)*(d + e*x)^q - f*(d + e*x)^(q - 2)*(b*d*e*(p + 1) + a*e^2*(m + q
- 1) - c*d^2*(m + q + 2*p + 1) - e*(2*c*d - b*e)*(m + q + p)*x), x], x], x] /; GtQ[q, 1] && NeQ[m + q + 2*p +
1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2
, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

Rule 832

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
p[(g*(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/(c*(m + 2*p + 2)), x] + Dist[1/(c*(m + 2*p + 2)), Int[(d + e*x)^(m
- 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*Simp[m*(c*d*f - a*e*g) + d*(2*c*f - b*g)*(p + 1) + (m*(c*e*f + c*d*g - b*e*g) + e*(p
+ 1)*(2*c*f - b*g))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 -
b*d*e + a*e^2, 0] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])
&&  !(IGtQ[m, 0] && EqQ[f, 0])

Rule 779

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> -Simp[((b
*e*g*(p + 2) - c*(e*f + d*g)*(2*p + 3) - 2*c*e*g*(p + 1)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/(2*c^2*(p + 1)*(2*p + 3
)), x] + Dist[(b^2*e*g*(p + 2) - 2*a*c*e*g + c*(2*c*d*f - b*(e*f + d*g))*(2*p + 3))/(2*c^2*(2*p + 3)), Int[(a
+ b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !LeQ[p, -1]

Rule 612

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^p)/(2*c*(2*p +
1)), x] - Dist[(p*(b^2 - 4*a*c))/(2*c*(2*p + 1)), Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]
&& NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && IntegerQ[4*p]

Rule 621

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[2, Subst[Int[1/(4*c - x^2), x], x, (b + 2*c*x)
/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \left (d+e x+f x^2\right ) \, dx &=\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\int (g+h x)^3 \left (-\frac{1}{2} h (5 b f g-18 c d h+8 a f h)-\frac{1}{2} h (10 c f g-18 c e h+13 b f h) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \, dx}{9 c h^2}\\ &=-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{144 c^2 h}+\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\int (g+h x)^2 \left (\frac{1}{4} h \left (65 b^2 f g h+78 a b f h^2-30 b c g (f g+3 e h)+4 c h (72 c d g-17 a f g-27 a e h)\right )+\frac{1}{4} h \left (143 b^2 f h^2-2 c h (24 b f g+99 b e h+64 a f h)-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right )\right ) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \, dx}{72 c^2 h^2}\\ &=\frac{\left (143 b^2 f h^2-2 c h (24 b f g+99 b e h+64 a f h)-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right )\right ) (g+h x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{2016 c^3 h}-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{144 c^2 h}+\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\int (g+h x) \left (-\frac{1}{8} h \left (715 b^3 f g h^2+2 b^2 \left (286 a f h^3-5 c g h (115 f g+99 e h)\right )-4 b c \left (a h^2 (481 f g+198 e h)-30 c g \left (f g^2+3 h (5 e g+4 d h)\right )\right )-8 c h \left (504 c^2 d g^2+64 a^2 f h^2-a c \left (89 f g^2+9 h (27 e g+16 d h)\right )\right )\right )-\frac{3}{8} h \left (429 b^3 f h^3-22 b c h^2 (29 b f g+27 b e h+34 a f h)+16 c^3 \left (5 f g^3-9 g h (e g+12 d h)\right )+8 c^2 h \left (a h (61 f g+63 e h)+3 b \left (f g^2+6 h (7 e g+6 d h)\right )\right )\right ) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \, dx}{504 c^3 h^2}\\ &=\frac{\left (143 b^2 f h^2-2 c h (24 b f g+99 b e h+64 a f h)-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right )\right ) (g+h x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{2016 c^3 h}-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{144 c^2 h}+\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\left (3003 b^4 f h^4-192 c^4 \left (5 f g^4-3 g^2 h (3 e g+64 d h)\right )-198 b^2 c h^3 (38 a f h+21 b (3 f g+e h))+8 c^2 h^2 \left (256 a^2 f h^2+837 a b h (3 f g+e h)+b^2 \left (1553 f g^2+756 h (3 e g+d h)\right )\right )-16 c^3 h \left (32 a h \left (17 f g^2+9 h (3 e g+d h)\right )+b g \left (13 f g^2+9 h (141 e g+196 d h)\right )\right )-10 c h \left (429 b^3 f h^3-22 b c h^2 (29 b f g+27 b e h+34 a f h)+16 c^3 \left (5 f g^3-9 g h (e g+12 d h)\right )+8 c^2 h \left (a h (61 f g+63 e h)+3 b \left (f g^2+6 h (7 e g+6 d h)\right )\right )\right ) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{80640 c^5 h}+\frac{\left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) \int \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \, dx}{1536 c^5}\\ &=\frac{\left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) (b+2 c x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}{12288 c^6}+\frac{\left (143 b^2 f h^2-2 c h (24 b f g+99 b e h+64 a f h)-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right )\right ) (g+h x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{2016 c^3 h}-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{144 c^2 h}+\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\left (3003 b^4 f h^4-192 c^4 \left (5 f g^4-3 g^2 h (3 e g+64 d h)\right )-198 b^2 c h^3 (38 a f h+21 b (3 f g+e h))+8 c^2 h^2 \left (256 a^2 f h^2+837 a b h (3 f g+e h)+b^2 \left (1553 f g^2+756 h (3 e g+d h)\right )\right )-16 c^3 h \left (32 a h \left (17 f g^2+9 h (3 e g+d h)\right )+b g \left (13 f g^2+9 h (141 e g+196 d h)\right )\right )-10 c h \left (429 b^3 f h^3-22 b c h^2 (29 b f g+27 b e h+34 a f h)+16 c^3 \left (5 f g^3-9 g h (e g+12 d h)\right )+8 c^2 h \left (a h (61 f g+63 e h)+3 b \left (f g^2+6 h (7 e g+6 d h)\right )\right )\right ) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{80640 c^5 h}-\frac{\left (\left (b^2-4 a c\right ) \left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right )\right ) \int \sqrt{a+b x+c x^2} \, dx}{8192 c^6}\\ &=-\frac{\left (b^2-4 a c\right ) \left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) (b+2 c x) \sqrt{a+b x+c x^2}}{32768 c^7}+\frac{\left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) (b+2 c x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}{12288 c^6}+\frac{\left (143 b^2 f h^2-2 c h (24 b f g+99 b e h+64 a f h)-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right )\right ) (g+h x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{2016 c^3 h}-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{144 c^2 h}+\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\left (3003 b^4 f h^4-192 c^4 \left (5 f g^4-3 g^2 h (3 e g+64 d h)\right )-198 b^2 c h^3 (38 a f h+21 b (3 f g+e h))+8 c^2 h^2 \left (256 a^2 f h^2+837 a b h (3 f g+e h)+b^2 \left (1553 f g^2+756 h (3 e g+d h)\right )\right )-16 c^3 h \left (32 a h \left (17 f g^2+9 h (3 e g+d h)\right )+b g \left (13 f g^2+9 h (141 e g+196 d h)\right )\right )-10 c h \left (429 b^3 f h^3-22 b c h^2 (29 b f g+27 b e h+34 a f h)+16 c^3 \left (5 f g^3-9 g h (e g+12 d h)\right )+8 c^2 h \left (a h (61 f g+63 e h)+3 b \left (f g^2+6 h (7 e g+6 d h)\right )\right )\right ) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{80640 c^5 h}+\frac{\left (\left (b^2-4 a c\right )^2 \left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right )\right ) \int \frac{1}{\sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{65536 c^7}\\ &=-\frac{\left (b^2-4 a c\right ) \left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) (b+2 c x) \sqrt{a+b x+c x^2}}{32768 c^7}+\frac{\left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) (b+2 c x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}{12288 c^6}+\frac{\left (143 b^2 f h^2-2 c h (24 b f g+99 b e h+64 a f h)-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right )\right ) (g+h x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{2016 c^3 h}-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{144 c^2 h}+\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\left (3003 b^4 f h^4-192 c^4 \left (5 f g^4-3 g^2 h (3 e g+64 d h)\right )-198 b^2 c h^3 (38 a f h+21 b (3 f g+e h))+8 c^2 h^2 \left (256 a^2 f h^2+837 a b h (3 f g+e h)+b^2 \left (1553 f g^2+756 h (3 e g+d h)\right )\right )-16 c^3 h \left (32 a h \left (17 f g^2+9 h (3 e g+d h)\right )+b g \left (13 f g^2+9 h (141 e g+196 d h)\right )\right )-10 c h \left (429 b^3 f h^3-22 b c h^2 (29 b f g+27 b e h+34 a f h)+16 c^3 \left (5 f g^3-9 g h (e g+12 d h)\right )+8 c^2 h \left (a h (61 f g+63 e h)+3 b \left (f g^2+6 h (7 e g+6 d h)\right )\right )\right ) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{80640 c^5 h}+\frac{\left (\left (b^2-4 a c\right )^2 \left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 c-x^2} \, dx,x,\frac{b+2 c x}{\sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{32768 c^7}\\ &=-\frac{\left (b^2-4 a c\right ) \left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) (b+2 c x) \sqrt{a+b x+c x^2}}{32768 c^7}+\frac{\left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) (b+2 c x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}{12288 c^6}+\frac{\left (143 b^2 f h^2-2 c h (24 b f g+99 b e h+64 a f h)-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (3 e g+8 d h)\right )\right ) (g+h x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{2016 c^3 h}-\frac{(10 c f g-18 c e h+13 b f h) (g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{144 c^2 h}+\frac{f (g+h x)^4 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{9 c h}+\frac{\left (3003 b^4 f h^4-192 c^4 \left (5 f g^4-3 g^2 h (3 e g+64 d h)\right )-198 b^2 c h^3 (38 a f h+21 b (3 f g+e h))+8 c^2 h^2 \left (256 a^2 f h^2+837 a b h (3 f g+e h)+b^2 \left (1553 f g^2+756 h (3 e g+d h)\right )\right )-16 c^3 h \left (32 a h \left (17 f g^2+9 h (3 e g+d h)\right )+b g \left (13 f g^2+9 h (141 e g+196 d h)\right )\right )-10 c h \left (429 b^3 f h^3-22 b c h^2 (29 b f g+27 b e h+34 a f h)+16 c^3 \left (5 f g^3-9 g h (e g+12 d h)\right )+8 c^2 h \left (a h (61 f g+63 e h)+3 b \left (f g^2+6 h (7 e g+6 d h)\right )\right )\right ) x\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}{80640 c^5 h}+\frac{\left (b^2-4 a c\right )^2 \left (1536 c^5 d g^3-143 b^5 f h^3-256 c^4 g \left (a f g^2+3 a h (e g+d h)+3 b g (e g+3 d h)\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (3 f g+e h))-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (3 f g+e h)+6 b^2 \left (3 f g^2+3 e g h+d h^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (3 f g+e h)+14 b^2 g \left (f g^2+3 h (e g+d h)\right )+12 a b h \left (3 f g^2+h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c x}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{65536 c^{15/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 3.00461, size = 721, normalized size = 0.62 \[ \frac{\frac{3 h \left (2 \sqrt{c} (b+2 c x) \sqrt{a+x (b+c x)} \left (4 c \left (5 a+2 c x^2\right )-3 b^2+8 b c x\right )+3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c x}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+x (b+c x)}}\right )\right ) \left (-48 b c^2 h \left (5 a^2 f h^2+9 a b h (e h+3 f g)+6 b^2 \left (d h^2+3 e g h+3 f g^2\right )\right )+32 c^3 \left (3 a^2 h^2 (e h+3 f g)+12 a b h \left (h (d h+3 e g)+3 f g^2\right )+14 b^2 g \left (3 h (d h+e g)+f g^2\right )\right )+22 b^3 c h^2 (20 a f h+9 b (e h+3 f g))-256 c^4 g \left (3 a h (d h+e g)+a f g^2+3 b g (3 d h+e g)\right )-143 b^5 f h^3+1536 c^5 d g^3\right )}{65536 c^{13/2}}+\frac{(a+x (b+c x))^{5/2} \left (4 c^2 h^2 \left (512 a^2 f h^2+2 a b h (837 e h+2511 f g+935 f h x)+b^2 (27 h (56 d h+168 e g+55 e h x)+f g (3106 g+1595 h x))\right )-66 b^2 c h^3 (114 a f h+b (63 e h+189 f g+65 f h x))-16 c^3 h \left (a h (9 h (32 d h+96 e g+35 e h x)+f g (544 g+305 h x))+b \left (9 h (4 d h (49 g+15 h x)+e g (141 g+70 h x))+f g^2 (13 g+15 h x)\right )\right )+3003 b^4 f h^4-32 c^4 \left (5 f g^3 (6 g+5 h x)-9 g h (4 d h (32 g+15 h x)+e g (6 g+5 h x))\right )\right )}{8960 c^4}+\frac{(g+h x)^2 (a+x (b+c x))^{5/2} \left (-2 c h (64 a f h+99 b e h+24 b f g)+143 b^2 f h^2-12 c^2 \left (5 f g^2-3 h (8 d h+3 e g)\right )\right )}{224 c^2}-\frac{(g+h x)^3 (a+x (b+c x))^{5/2} (13 b f h+2 c (5 f g-9 e h))}{16 c}+f (g+h x)^4 (a+x (b+c x))^{5/2}}{9 c h} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)*(d + e*x + f*x^2),x]

[Out]

(((143*b^2*f*h^2 - 2*c*h*(24*b*f*g + 99*b*e*h + 64*a*f*h) - 12*c^2*(5*f*g^2 - 3*h*(3*e*g + 8*d*h)))*(g + h*x)^
2*(a + x*(b + c*x))^(5/2))/(224*c^2) - ((13*b*f*h + 2*c*(5*f*g - 9*e*h))*(g + h*x)^3*(a + x*(b + c*x))^(5/2))/
(16*c) + f*(g + h*x)^4*(a + x*(b + c*x))^(5/2) + ((a + x*(b + c*x))^(5/2)*(3003*b^4*f*h^4 - 66*b^2*c*h^3*(114*
a*f*h + b*(189*f*g + 63*e*h + 65*f*h*x)) - 32*c^4*(5*f*g^3*(6*g + 5*h*x) - 9*g*h*(e*g*(6*g + 5*h*x) + 4*d*h*(3
2*g + 15*h*x))) + 4*c^2*h^2*(512*a^2*f*h^2 + 2*a*b*h*(2511*f*g + 837*e*h + 935*f*h*x) + b^2*(f*g*(3106*g + 159
5*h*x) + 27*h*(168*e*g + 56*d*h + 55*e*h*x))) - 16*c^3*h*(a*h*(f*g*(544*g + 305*h*x) + 9*h*(96*e*g + 32*d*h +
35*e*h*x)) + b*(f*g^2*(13*g + 15*h*x) + 9*h*(4*d*h*(49*g + 15*h*x) + e*g*(141*g + 70*h*x))))))/(8960*c^4) + (3
*h*(1536*c^5*d*g^3 - 143*b^5*f*h^3 - 256*c^4*g*(a*f*g^2 + 3*a*h*(e*g + d*h) + 3*b*g*(e*g + 3*d*h)) + 22*b^3*c*
h^2*(20*a*f*h + 9*b*(3*f*g + e*h)) - 48*b*c^2*h*(5*a^2*f*h^2 + 9*a*b*h*(3*f*g + e*h) + 6*b^2*(3*f*g^2 + 3*e*g*
h + d*h^2)) + 32*c^3*(3*a^2*h^2*(3*f*g + e*h) + 14*b^2*g*(f*g^2 + 3*h*(e*g + d*h)) + 12*a*b*h*(3*f*g^2 + h*(3*
e*g + d*h))))*(2*Sqrt[c]*(b + 2*c*x)*Sqrt[a + x*(b + c*x)]*(-3*b^2 + 8*b*c*x + 4*c*(5*a + 2*c*x^2)) + 3*(b^2 -
4*a*c)^2*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + x*(b + c*x)])]))/(65536*c^(13/2)))/(9*c*h)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.078, size = 5881, normalized size = 5. \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((h*x+g)^3*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)*(f*x^2+e*x+d),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x+g)^3*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)*(f*x^2+e*x+d),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 30.47, size = 11167, normalized size = 9.55 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x+g)^3*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)*(f*x^2+e*x+d),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/41287680*(315*(64*(24*(b^4*c^5 - 8*a*b^2*c^6 + 16*a^2*c^7)*d - 12*(b^5*c^4 - 8*a*b^3*c^5 + 16*a^2*b*c^6)*e
+ (7*b^6*c^3 - 60*a*b^4*c^4 + 144*a^2*b^2*c^5 - 64*a^3*c^6)*f)*g^3 - 96*(24*(b^5*c^4 - 8*a*b^3*c^5 + 16*a^2*b
*c^6)*d - 2*(7*b^6*c^3 - 60*a*b^4*c^4 + 144*a^2*b^2*c^5 - 64*a^3*c^6)*e + 3*(3*b^7*c^2 - 28*a*b^5*c^3 + 80*a^2
*b^3*c^4 - 64*a^3*b*c^5)*f)*g^2*h + 6*(32*(7*b^6*c^3 - 60*a*b^4*c^4 + 144*a^2*b^2*c^5 - 64*a^3*c^6)*d - 48*(3*
b^7*c^2 - 28*a*b^5*c^3 + 80*a^2*b^3*c^4 - 64*a^3*b*c^5)*e + 3*(33*b^8*c - 336*a*b^6*c^2 + 1120*a^2*b^4*c^3 - 1
280*a^3*b^2*c^4 + 256*a^4*c^5)*f)*g*h^2 - (96*(3*b^7*c^2 - 28*a*b^5*c^3 + 80*a^2*b^3*c^4 - 64*a^3*b*c^5)*d - 6
*(33*b^8*c - 336*a*b^6*c^2 + 1120*a^2*b^4*c^3 - 1280*a^3*b^2*c^4 + 256*a^4*c^5)*e + (143*b^9 - 1584*a*b^7*c +
6048*a^2*b^5*c^2 - 8960*a^3*b^3*c^3 + 3840*a^4*b*c^4)*f)*h^3)*sqrt(c)*log(-8*c^2*x^2 - 8*b*c*x - b^2 + 4*sqrt(
c*x^2 + b*x + a)*(2*c*x + b)*sqrt(c) - 4*a*c) - 4*(1146880*c^9*f*h^3*x^8 + 71680*(54*c^9*f*g*h^2 + (18*c^9*e +
19*b*c^8*f)*h^3)*x^7 + 5120*(864*c^9*f*g^2*h + 54*(16*c^9*e + 17*b*c^8*f)*g*h^2 + (288*c^9*d + 306*b*c^8*e +
(3*b^2*c^7 + 320*a*c^8)*f)*h^3)*x^6 + 1280*(1344*c^9*f*g^3 + 288*(14*c^9*e + 15*b*c^8*f)*g^2*h + 18*(224*c^9*d
+ 240*b*c^8*e + 3*(b^2*c^7 + 84*a*c^8)*f)*g*h^2 + (1440*b*c^8*d + 18*(b^2*c^7 + 84*a*c^8)*e - (13*b^3*c^6 - 6
0*a*b*c^7)*f)*h^3)*x^5 + 128*(1344*(12*c^9*e + 13*b*c^8*f)*g^3 + 288*(168*c^9*d + 182*b*c^8*e + 3*(b^2*c^7 + 6
4*a*c^8)*f)*g^2*h + 18*(2912*b*c^8*d + 48*(b^2*c^7 + 64*a*c^8)*e - 3*(11*b^3*c^6 - 52*a*b*c^7)*f)*g*h^2 + (288
*(b^2*c^7 + 64*a*c^8)*d - 18*(11*b^3*c^6 - 52*a*b*c^7)*e + (143*b^4*c^5 - 804*a*b^2*c^6 + 768*a^2*c^7)*f)*h^3)
*x^4 - 1344*(120*(3*b^3*c^6 - 20*a*b*c^7)*d - 12*(15*b^4*c^5 - 100*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*e + (105*b^5*c^4 -
760*a*b^3*c^5 + 1296*a^2*b*c^6)*f)*g^3 + 288*(168*(15*b^4*c^5 - 100*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*d - 14*(105*b^5*
c^4 - 760*a*b^3*c^5 + 1296*a^2*b*c^6)*e + 3*(315*b^6*c^3 - 2520*a*b^4*c^4 + 5488*a^2*b^2*c^5 - 2048*a^3*c^6)*f
)*g^2*h - 18*(224*(105*b^5*c^4 - 760*a*b^3*c^5 + 1296*a^2*b*c^6)*d - 48*(315*b^6*c^3 - 2520*a*b^4*c^4 + 5488*a
^2*b^2*c^5 - 2048*a^3*c^6)*e + 3*(3465*b^7*c^2 - 30660*a*b^5*c^3 + 81648*a^2*b^3*c^4 - 58816*a^3*b*c^5)*f)*g*h
^2 + (288*(315*b^6*c^3 - 2520*a*b^4*c^4 + 5488*a^2*b^2*c^5 - 2048*a^3*c^6)*d - 18*(3465*b^7*c^2 - 30660*a*b^5*
c^3 + 81648*a^2*b^3*c^4 - 58816*a^3*b*c^5)*e + (45045*b^8*c - 438900*a*b^6*c^2 + 1383984*a^2*b^4*c^3 - 1467072
*a^3*b^2*c^4 + 262144*a^4*c^5)*f)*h^3 + 16*(1344*(120*c^9*d + 132*b*c^8*e + (3*b^2*c^7 + 140*a*c^8)*f)*g^3 + 2
88*(1848*b*c^8*d + 14*(3*b^2*c^7 + 140*a*c^8)*e - 3*(9*b^3*c^6 - 44*a*b*c^7)*f)*g^2*h + 18*(224*(3*b^2*c^7 + 1
40*a*c^8)*d - 48*(9*b^3*c^6 - 44*a*b*c^7)*e + 3*(99*b^4*c^5 - 568*a*b^2*c^6 + 560*a^2*c^7)*f)*g*h^2 - (288*(9*
b^3*c^6 - 44*a*b*c^7)*d - 18*(99*b^4*c^5 - 568*a*b^2*c^6 + 560*a^2*c^7)*e + (1287*b^5*c^4 - 8536*a*b^3*c^5 + 1
2912*a^2*b*c^6)*f)*h^3)*x^3 + 8*(1344*(360*b*c^8*d + 12*(b^2*c^7 + 32*a*c^8)*e - (7*b^3*c^6 - 36*a*b*c^7)*f)*g
^3 + 288*(168*(b^2*c^7 + 32*a*c^8)*d - 14*(7*b^3*c^6 - 36*a*b*c^7)*e + 3*(21*b^4*c^5 - 124*a*b^2*c^6 + 128*a^2
*c^7)*f)*g^2*h - 18*(224*(7*b^3*c^6 - 36*a*b*c^7)*d - 48*(21*b^4*c^5 - 124*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*e + 3*(231
*b^5*c^4 - 1560*a*b^3*c^5 + 2416*a^2*b*c^6)*f)*g*h^2 + (288*(21*b^4*c^5 - 124*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*d - 18*
(231*b^5*c^4 - 1560*a*b^3*c^5 + 2416*a^2*b*c^6)*e + (3003*b^6*c^3 - 22968*a*b^4*c^4 + 47280*a^2*b^2*c^5 - 1638
4*a^3*c^6)*f)*h^3)*x^2 + 2*(1344*(120*(b^2*c^7 + 20*a*c^8)*d - 12*(5*b^3*c^6 - 28*a*b*c^7)*e + (35*b^4*c^5 - 2
16*a*b^2*c^6 + 240*a^2*c^7)*f)*g^3 - 288*(168*(5*b^3*c^6 - 28*a*b*c^7)*d - 14*(35*b^4*c^5 - 216*a*b^2*c^6 + 24
0*a^2*c^7)*e + 3*(105*b^5*c^4 - 728*a*b^3*c^5 + 1168*a^2*b*c^6)*f)*g^2*h + 18*(224*(35*b^4*c^5 - 216*a*b^2*c^6
+ 240*a^2*c^7)*d - 48*(105*b^5*c^4 - 728*a*b^3*c^5 + 1168*a^2*b*c^6)*e + 3*(1155*b^6*c^3 - 8988*a*b^4*c^4 + 1
8896*a^2*b^2*c^5 - 6720*a^3*c^6)*f)*g*h^2 - (288*(105*b^5*c^4 - 728*a*b^3*c^5 + 1168*a^2*b*c^6)*d - 18*(1155*b
^6*c^3 - 8988*a*b^4*c^4 + 18896*a^2*b^2*c^5 - 6720*a^3*c^6)*e + (15015*b^7*c^2 - 130284*a*b^5*c^3 + 338832*a^2
*b^3*c^4 - 236864*a^3*b*c^5)*f)*h^3)*x)*sqrt(c*x^2 + b*x + a))/c^8, -1/20643840*(315*(64*(24*(b^4*c^5 - 8*a*b^
2*c^6 + 16*a^2*c^7)*d - 12*(b^5*c^4 - 8*a*b^3*c^5 + 16*a^2*b*c^6)*e + (7*b^6*c^3 - 60*a*b^4*c^4 + 144*a^2*b^2*
c^5 - 64*a^3*c^6)*f)*g^3 - 96*(24*(b^5*c^4 - 8*a*b^3*c^5 + 16*a^2*b*c^6)*d - 2*(7*b^6*c^3 - 60*a*b^4*c^4 + 144
*a^2*b^2*c^5 - 64*a^3*c^6)*e + 3*(3*b^7*c^2 - 28*a*b^5*c^3 + 80*a^2*b^3*c^4 - 64*a^3*b*c^5)*f)*g^2*h + 6*(32*(
7*b^6*c^3 - 60*a*b^4*c^4 + 144*a^2*b^2*c^5 - 64*a^3*c^6)*d - 48*(3*b^7*c^2 - 28*a*b^5*c^3 + 80*a^2*b^3*c^4 - 6
4*a^3*b*c^5)*e + 3*(33*b^8*c - 336*a*b^6*c^2 + 1120*a^2*b^4*c^3 - 1280*a^3*b^2*c^4 + 256*a^4*c^5)*f)*g*h^2 - (
96*(3*b^7*c^2 - 28*a*b^5*c^3 + 80*a^2*b^3*c^4 - 64*a^3*b*c^5)*d - 6*(33*b^8*c - 336*a*b^6*c^2 + 1120*a^2*b^4*c
^3 - 1280*a^3*b^2*c^4 + 256*a^4*c^5)*e + (143*b^9 - 1584*a*b^7*c + 6048*a^2*b^5*c^2 - 8960*a^3*b^3*c^3 + 3840*
a^4*b*c^4)*f)*h^3)*sqrt(-c)*arctan(1/2*sqrt(c*x^2 + b*x + a)*(2*c*x + b)*sqrt(-c)/(c^2*x^2 + b*c*x + a*c)) - 2
*(1146880*c^9*f*h^3*x^8 + 71680*(54*c^9*f*g*h^2 + (18*c^9*e + 19*b*c^8*f)*h^3)*x^7 + 5120*(864*c^9*f*g^2*h + 5
4*(16*c^9*e + 17*b*c^8*f)*g*h^2 + (288*c^9*d + 306*b*c^8*e + (3*b^2*c^7 + 320*a*c^8)*f)*h^3)*x^6 + 1280*(1344*
c^9*f*g^3 + 288*(14*c^9*e + 15*b*c^8*f)*g^2*h + 18*(224*c^9*d + 240*b*c^8*e + 3*(b^2*c^7 + 84*a*c^8)*f)*g*h^2
+ (1440*b*c^8*d + 18*(b^2*c^7 + 84*a*c^8)*e - (13*b^3*c^6 - 60*a*b*c^7)*f)*h^3)*x^5 + 128*(1344*(12*c^9*e + 13
*b*c^8*f)*g^3 + 288*(168*c^9*d + 182*b*c^8*e + 3*(b^2*c^7 + 64*a*c^8)*f)*g^2*h + 18*(2912*b*c^8*d + 48*(b^2*c^
7 + 64*a*c^8)*e - 3*(11*b^3*c^6 - 52*a*b*c^7)*f)*g*h^2 + (288*(b^2*c^7 + 64*a*c^8)*d - 18*(11*b^3*c^6 - 52*a*b
*c^7)*e + (143*b^4*c^5 - 804*a*b^2*c^6 + 768*a^2*c^7)*f)*h^3)*x^4 - 1344*(120*(3*b^3*c^6 - 20*a*b*c^7)*d - 12*
(15*b^4*c^5 - 100*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*e + (105*b^5*c^4 - 760*a*b^3*c^5 + 1296*a^2*b*c^6)*f)*g^3 + 288*(16
8*(15*b^4*c^5 - 100*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*d - 14*(105*b^5*c^4 - 760*a*b^3*c^5 + 1296*a^2*b*c^6)*e + 3*(315*
b^6*c^3 - 2520*a*b^4*c^4 + 5488*a^2*b^2*c^5 - 2048*a^3*c^6)*f)*g^2*h - 18*(224*(105*b^5*c^4 - 760*a*b^3*c^5 +
1296*a^2*b*c^6)*d - 48*(315*b^6*c^3 - 2520*a*b^4*c^4 + 5488*a^2*b^2*c^5 - 2048*a^3*c^6)*e + 3*(3465*b^7*c^2 -
30660*a*b^5*c^3 + 81648*a^2*b^3*c^4 - 58816*a^3*b*c^5)*f)*g*h^2 + (288*(315*b^6*c^3 - 2520*a*b^4*c^4 + 5488*a^
2*b^2*c^5 - 2048*a^3*c^6)*d - 18*(3465*b^7*c^2 - 30660*a*b^5*c^3 + 81648*a^2*b^3*c^4 - 58816*a^3*b*c^5)*e + (4
5045*b^8*c - 438900*a*b^6*c^2 + 1383984*a^2*b^4*c^3 - 1467072*a^3*b^2*c^4 + 262144*a^4*c^5)*f)*h^3 + 16*(1344*
(120*c^9*d + 132*b*c^8*e + (3*b^2*c^7 + 140*a*c^8)*f)*g^3 + 288*(1848*b*c^8*d + 14*(3*b^2*c^7 + 140*a*c^8)*e -
3*(9*b^3*c^6 - 44*a*b*c^7)*f)*g^2*h + 18*(224*(3*b^2*c^7 + 140*a*c^8)*d - 48*(9*b^3*c^6 - 44*a*b*c^7)*e + 3*(
99*b^4*c^5 - 568*a*b^2*c^6 + 560*a^2*c^7)*f)*g*h^2 - (288*(9*b^3*c^6 - 44*a*b*c^7)*d - 18*(99*b^4*c^5 - 568*a*
b^2*c^6 + 560*a^2*c^7)*e + (1287*b^5*c^4 - 8536*a*b^3*c^5 + 12912*a^2*b*c^6)*f)*h^3)*x^3 + 8*(1344*(360*b*c^8*
d + 12*(b^2*c^7 + 32*a*c^8)*e - (7*b^3*c^6 - 36*a*b*c^7)*f)*g^3 + 288*(168*(b^2*c^7 + 32*a*c^8)*d - 14*(7*b^3*
c^6 - 36*a*b*c^7)*e + 3*(21*b^4*c^5 - 124*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*f)*g^2*h - 18*(224*(7*b^3*c^6 - 36*a*b*c^7)
*d - 48*(21*b^4*c^5 - 124*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*e + 3*(231*b^5*c^4 - 1560*a*b^3*c^5 + 2416*a^2*b*c^6)*f)*g*
h^2 + (288*(21*b^4*c^5 - 124*a*b^2*c^6 + 128*a^2*c^7)*d - 18*(231*b^5*c^4 - 1560*a*b^3*c^5 + 2416*a^2*b*c^6)*e
+ (3003*b^6*c^3 - 22968*a*b^4*c^4 + 47280*a^2*b^2*c^5 - 16384*a^3*c^6)*f)*h^3)*x^2 + 2*(1344*(120*(b^2*c^7 +
20*a*c^8)*d - 12*(5*b^3*c^6 - 28*a*b*c^7)*e + (35*b^4*c^5 - 216*a*b^2*c^6 + 240*a^2*c^7)*f)*g^3 - 288*(168*(5*
b^3*c^6 - 28*a*b*c^7)*d - 14*(35*b^4*c^5 - 216*a*b^2*c^6 + 240*a^2*c^7)*e + 3*(105*b^5*c^4 - 728*a*b^3*c^5 + 1
168*a^2*b*c^6)*f)*g^2*h + 18*(224*(35*b^4*c^5 - 216*a*b^2*c^6 + 240*a^2*c^7)*d - 48*(105*b^5*c^4 - 728*a*b^3*c
^5 + 1168*a^2*b*c^6)*e + 3*(1155*b^6*c^3 - 8988*a*b^4*c^4 + 18896*a^2*b^2*c^5 - 6720*a^3*c^6)*f)*g*h^2 - (288*
(105*b^5*c^4 - 728*a*b^3*c^5 + 1168*a^2*b*c^6)*d - 18*(1155*b^6*c^3 - 8988*a*b^4*c^4 + 18896*a^2*b^2*c^5 - 672
0*a^3*c^6)*e + (15015*b^7*c^2 - 130284*a*b^5*c^3 + 338832*a^2*b^3*c^4 - 236864*a^3*b*c^5)*f)*h^3)*x)*sqrt(c*x^
2 + b*x + a))/c^8]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (g + h x\right )^{3} \left (a + b x + c x^{2}\right )^{\frac{3}{2}} \left (d + e x + f x^{2}\right )\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x+g)**3*(c*x**2+b*x+a)**(3/2)*(f*x**2+e*x+d),x)

[Out]

Integral((g + h*x)**3*(a + b*x + c*x**2)**(3/2)*(d + e*x + f*x**2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.35419, size = 4019, normalized size = 3.44 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((h*x+g)^3*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)*(f*x^2+e*x+d),x, algorithm="giac")

[Out]

1/10321920*sqrt(c*x^2 + b*x + a)*(2*(4*(2*(8*(10*(4*(14*(16*c*f*h^3*x + (54*c^9*f*g*h^2 + 19*b*c^8*f*h^3 + 18*
c^9*h^3*e)/c^8)*x + (864*c^9*f*g^2*h + 918*b*c^8*f*g*h^2 + 288*c^9*d*h^3 + 3*b^2*c^7*f*h^3 + 320*a*c^8*f*h^3 +
864*c^9*g*h^2*e + 306*b*c^8*h^3*e)/c^8)*x + (1344*c^9*f*g^3 + 4320*b*c^8*f*g^2*h + 4032*c^9*d*g*h^2 + 54*b^2*
c^7*f*g*h^2 + 4536*a*c^8*f*g*h^2 + 1440*b*c^8*d*h^3 - 13*b^3*c^6*f*h^3 + 60*a*b*c^7*f*h^3 + 4032*c^9*g^2*h*e +
4320*b*c^8*g*h^2*e + 18*b^2*c^7*h^3*e + 1512*a*c^8*h^3*e)/c^8)*x + (17472*b*c^8*f*g^3 + 48384*c^9*d*g^2*h + 8
64*b^2*c^7*f*g^2*h + 55296*a*c^8*f*g^2*h + 52416*b*c^8*d*g*h^2 - 594*b^3*c^6*f*g*h^2 + 2808*a*b*c^7*f*g*h^2 +
288*b^2*c^7*d*h^3 + 18432*a*c^8*d*h^3 + 143*b^4*c^5*f*h^3 - 804*a*b^2*c^6*f*h^3 + 768*a^2*c^7*f*h^3 + 16128*c^
9*g^3*e + 52416*b*c^8*g^2*h*e + 864*b^2*c^7*g*h^2*e + 55296*a*c^8*g*h^2*e - 198*b^3*c^6*h^3*e + 936*a*b*c^7*h^
3*e)/c^8)*x + (161280*c^9*d*g^3 + 4032*b^2*c^7*f*g^3 + 188160*a*c^8*f*g^3 + 532224*b*c^8*d*g^2*h - 7776*b^3*c^
6*f*g^2*h + 38016*a*b*c^7*f*g^2*h + 12096*b^2*c^7*d*g*h^2 + 564480*a*c^8*d*g*h^2 + 5346*b^4*c^5*f*g*h^2 - 3067
2*a*b^2*c^6*f*g*h^2 + 30240*a^2*c^7*f*g*h^2 - 2592*b^3*c^6*d*h^3 + 12672*a*b*c^7*d*h^3 - 1287*b^5*c^4*f*h^3 +
8536*a*b^3*c^5*f*h^3 - 12912*a^2*b*c^6*f*h^3 + 177408*b*c^8*g^3*e + 12096*b^2*c^7*g^2*h*e + 564480*a*c^8*g^2*h
*e - 7776*b^3*c^6*g*h^2*e + 38016*a*b*c^7*g*h^2*e + 1782*b^4*c^5*h^3*e - 10224*a*b^2*c^6*h^3*e + 10080*a^2*c^7
*h^3*e)/c^8)*x + (483840*b*c^8*d*g^3 - 9408*b^3*c^6*f*g^3 + 48384*a*b*c^7*f*g^3 + 48384*b^2*c^7*d*g^2*h + 1548
288*a*c^8*d*g^2*h + 18144*b^4*c^5*f*g^2*h - 107136*a*b^2*c^6*f*g^2*h + 110592*a^2*c^7*f*g^2*h - 28224*b^3*c^6*
d*g*h^2 + 145152*a*b*c^7*d*g*h^2 - 12474*b^5*c^4*f*g*h^2 + 84240*a*b^3*c^5*f*g*h^2 - 130464*a^2*b*c^6*f*g*h^2
+ 6048*b^4*c^5*d*h^3 - 35712*a*b^2*c^6*d*h^3 + 36864*a^2*c^7*d*h^3 + 3003*b^6*c^3*f*h^3 - 22968*a*b^4*c^4*f*h^
3 + 47280*a^2*b^2*c^5*f*h^3 - 16384*a^3*c^6*f*h^3 + 16128*b^2*c^7*g^3*e + 516096*a*c^8*g^3*e - 28224*b^3*c^6*g
^2*h*e + 145152*a*b*c^7*g^2*h*e + 18144*b^4*c^5*g*h^2*e - 107136*a*b^2*c^6*g*h^2*e + 110592*a^2*c^7*g*h^2*e -
4158*b^5*c^4*h^3*e + 28080*a*b^3*c^5*h^3*e - 43488*a^2*b*c^6*h^3*e)/c^8)*x + (161280*b^2*c^7*d*g^3 + 3225600*a
*c^8*d*g^3 + 47040*b^4*c^5*f*g^3 - 290304*a*b^2*c^6*f*g^3 + 322560*a^2*c^7*f*g^3 - 241920*b^3*c^6*d*g^2*h + 13
54752*a*b*c^7*d*g^2*h - 90720*b^5*c^4*f*g^2*h + 628992*a*b^3*c^5*f*g^2*h - 1009152*a^2*b*c^6*f*g^2*h + 141120*
b^4*c^5*d*g*h^2 - 870912*a*b^2*c^6*d*g*h^2 + 967680*a^2*c^7*d*g*h^2 + 62370*b^6*c^3*f*g*h^2 - 485352*a*b^4*c^4
*f*g*h^2 + 1020384*a^2*b^2*c^5*f*g*h^2 - 362880*a^3*c^6*f*g*h^2 - 30240*b^5*c^4*d*h^3 + 209664*a*b^3*c^5*d*h^3
- 336384*a^2*b*c^6*d*h^3 - 15015*b^7*c^2*f*h^3 + 130284*a*b^5*c^3*f*h^3 - 338832*a^2*b^3*c^4*f*h^3 + 236864*a
^3*b*c^5*f*h^3 - 80640*b^3*c^6*g^3*e + 451584*a*b*c^7*g^3*e + 141120*b^4*c^5*g^2*h*e - 870912*a*b^2*c^6*g^2*h*
e + 967680*a^2*c^7*g^2*h*e - 90720*b^5*c^4*g*h^2*e + 628992*a*b^3*c^5*g*h^2*e - 1009152*a^2*b*c^6*g*h^2*e + 20
790*b^6*c^3*h^3*e - 161784*a*b^4*c^4*h^3*e + 340128*a^2*b^2*c^5*h^3*e - 120960*a^3*c^6*h^3*e)/c^8)*x - (483840
*b^3*c^6*d*g^3 - 3225600*a*b*c^7*d*g^3 + 141120*b^5*c^4*f*g^3 - 1021440*a*b^3*c^5*f*g^3 + 1741824*a^2*b*c^6*f*
g^3 - 725760*b^4*c^5*d*g^2*h + 4838400*a*b^2*c^6*d*g^2*h - 6193152*a^2*c^7*d*g^2*h - 272160*b^6*c^3*f*g^2*h +
2177280*a*b^4*c^4*f*g^2*h - 4741632*a^2*b^2*c^5*f*g^2*h + 1769472*a^3*c^6*f*g^2*h + 423360*b^5*c^4*d*g*h^2 - 3
064320*a*b^3*c^5*d*g*h^2 + 5225472*a^2*b*c^6*d*g*h^2 + 187110*b^7*c^2*f*g*h^2 - 1655640*a*b^5*c^3*f*g*h^2 + 44
08992*a^2*b^3*c^4*f*g*h^2 - 3176064*a^3*b*c^5*f*g*h^2 - 90720*b^6*c^3*d*h^3 + 725760*a*b^4*c^4*d*h^3 - 1580544
*a^2*b^2*c^5*d*h^3 + 589824*a^3*c^6*d*h^3 - 45045*b^8*c*f*h^3 + 438900*a*b^6*c^2*f*h^3 - 1383984*a^2*b^4*c^3*f
*h^3 + 1467072*a^3*b^2*c^4*f*h^3 - 262144*a^4*c^5*f*h^3 - 241920*b^4*c^5*g^3*e + 1612800*a*b^2*c^6*g^3*e - 206
4384*a^2*c^7*g^3*e + 423360*b^5*c^4*g^2*h*e - 3064320*a*b^3*c^5*g^2*h*e + 5225472*a^2*b*c^6*g^2*h*e - 272160*b
^6*c^3*g*h^2*e + 2177280*a*b^4*c^4*g*h^2*e - 4741632*a^2*b^2*c^5*g*h^2*e + 1769472*a^3*c^6*g*h^2*e + 62370*b^7
*c^2*h^3*e - 551880*a*b^5*c^3*h^3*e + 1469664*a^2*b^3*c^4*h^3*e - 1058688*a^3*b*c^5*h^3*e)/c^8) - 1/65536*(153
6*b^4*c^5*d*g^3 - 12288*a*b^2*c^6*d*g^3 + 24576*a^2*c^7*d*g^3 + 448*b^6*c^3*f*g^3 - 3840*a*b^4*c^4*f*g^3 + 921
6*a^2*b^2*c^5*f*g^3 - 4096*a^3*c^6*f*g^3 - 2304*b^5*c^4*d*g^2*h + 18432*a*b^3*c^5*d*g^2*h - 36864*a^2*b*c^6*d*
g^2*h - 864*b^7*c^2*f*g^2*h + 8064*a*b^5*c^3*f*g^2*h - 23040*a^2*b^3*c^4*f*g^2*h + 18432*a^3*b*c^5*f*g^2*h + 1
344*b^6*c^3*d*g*h^2 - 11520*a*b^4*c^4*d*g*h^2 + 27648*a^2*b^2*c^5*d*g*h^2 - 12288*a^3*c^6*d*g*h^2 + 594*b^8*c*
f*g*h^2 - 6048*a*b^6*c^2*f*g*h^2 + 20160*a^2*b^4*c^3*f*g*h^2 - 23040*a^3*b^2*c^4*f*g*h^2 + 4608*a^4*c^5*f*g*h^
2 - 288*b^7*c^2*d*h^3 + 2688*a*b^5*c^3*d*h^3 - 7680*a^2*b^3*c^4*d*h^3 + 6144*a^3*b*c^5*d*h^3 - 143*b^9*f*h^3 +
1584*a*b^7*c*f*h^3 - 6048*a^2*b^5*c^2*f*h^3 + 8960*a^3*b^3*c^3*f*h^3 - 3840*a^4*b*c^4*f*h^3 - 768*b^5*c^4*g^3
*e + 6144*a*b^3*c^5*g^3*e - 12288*a^2*b*c^6*g^3*e + 1344*b^6*c^3*g^2*h*e - 11520*a*b^4*c^4*g^2*h*e + 27648*a^2
*b^2*c^5*g^2*h*e - 12288*a^3*c^6*g^2*h*e - 864*b^7*c^2*g*h^2*e + 8064*a*b^5*c^3*g*h^2*e - 23040*a^2*b^3*c^4*g*
h^2*e + 18432*a^3*b*c^5*g*h^2*e + 198*b^8*c*h^3*e - 2016*a*b^6*c^2*h^3*e + 6720*a^2*b^4*c^3*h^3*e - 7680*a^3*b
^2*c^4*h^3*e + 1536*a^4*c^5*h^3*e)*log(abs(-2*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*sqrt(c) - b))/c^(15/2)